Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A在橢圓C上，|AF₁|=2，∠F₁AF₂=60°，過F₂與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中點(diǎn)為N，在線段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率以及橢圓的定義，結(jié)合余弦定理，求解橢圓C的方程．
（Ⅱ）存在這樣的點(diǎn)M符合題意．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1），鄰里中心與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，通過點(diǎn)N在直線PQ上，求出N的坐標(biāo)，利用MN⊥PQ，轉(zhuǎn)化求解m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$e=\frac{1}{2}$得a=2c，|AF₁|=2，|AF₂|=2a-2，
由余弦定理得，$|A{F_1}{|^2}+|A{F_2}{|^2}-2|A{F_1}|•|A{F_2}|cosA=|{F_1}{F_2}{|^2}$，
解得c=1，a=2，b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）存在這樣的點(diǎn)M符合題意．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
由F₂（1，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，故${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，
又點(diǎn)N在直線PQ上，${y_0}=\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}$，所以$N（\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}）$．
因?yàn)镸N⊥PQ，所以${k_{MN}}=\frac{{0-\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}}}{{m-\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}=-\frac{1}{k}$，整理得$m=\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}=\frac{1}{{4+\frac{3}{k^2}}}∈（0，\frac{1}{4}）$，
所以存在實(shí)數(shù)m，且m的取值范圍為$（0，\frac{1}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．