Question

14．實(shí)數(shù)a∈[-1，1]，b∈[0，2]．設(shè)函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+bx$的兩個極值點(diǎn)為x₁，x₂，現(xiàn)向點(diǎn)（a，b）所在平面區(qū)域投擲一個飛鏢，則飛鏢恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的區(qū)域的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+bx$的兩個極值點(diǎn)為x₁，x₂，使?jié)M足x₁≤-1且x₂≥1的可行域面積的大小和實(shí)數(shù)a，b滿足a∈[-1，1]，b∈[0，2]對應(yīng)的圖形面積的大小．

解答 解：∵$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+bx$，
∴f'（x）=-x²+ax+b的兩個零點(diǎn)為x₁，x₂，
∵x₁≤-1且x₂≥1
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=-1-a+b≥0}\\{f′（1）=-1+a+b≥0}\end{array}\right.$在條件實(shí)數(shù)a∈[-1，1]，b∈[0，2]下畫出滿足上面不等式的圖形如右圖中陰影部分．
其面積為1，a∈[-1，1]，b∈[0，2]圍成圖形的面積為4
∴現(xiàn)向點(diǎn)（a，b）所在平面區(qū)域投擲一個飛鏢，則飛鏢恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的區(qū)域的概率為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和幾何概型的概率，同時考查了畫圖的能力，屬于中檔題．