Question

13．一半徑為4m的水輪（如圖），水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P₀）開(kāi)始計(jì)時(shí)．
（1）將點(diǎn)P距離水面的高度h（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；
（2）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)4m．

Answer 1

分析 （1）以0為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．利用三角函數(shù)的定義即可表示點(diǎn)P距離水面的高度h（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)
（2）根據(jù)（1）中的三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可得答案．

解答 解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
依題意，如圖$|φ|=\frac{π}{6}$
易知OP，在ts內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為$\frac{4×2π}{60}t=\frac{2π}{15}t$，
故角$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}$是以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角，
故P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）$，
故所求函數(shù)關(guān)系式為$h=4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）+2（t≥0）$．
（2）由點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)4m．
即h＞4，
可得：$4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2＞4$
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）＞\frac{1}{2}$．
解得：$\frac{π}{6}+2kπ＜\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
∴2.5+15k＜t＜7.5+15k，k∈Z
（7.5+15k）-（2.5+15k）=5．
∴在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有5s的時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)4m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義的運(yùn)用和解析式的求法．要合理建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．