Question

10．已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），且有$\frac{x}{1-i}$=1+yi，$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù)，則$\frac{|z|}{\overline{z}}$的虛部為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$i
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$i

Answer 1

分析 先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)$\frac{x}{1-i}$，再由復(fù)數(shù)相等的條件求出實(shí)數(shù)x、y的值，得到復(fù)數(shù)z，求出$\overline{z}$，再由復(fù)數(shù)求模公式得到|z|，代入$\frac{|z|}{\overline{z}}$，然后運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得答案．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z=x+yi（x、y∈R），且有$\frac{x}{1-i}$=1+yi，
∴$\frac{x}{1-i}=\frac{x（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{x（1+i）}{2}=1+yi$．
∴x+xi=2+2yi
∴x=2y=2．
解得：y=1，x=2．
則z=2+i，|z|=|2+i|=$\sqrt{5}$，$\overline{z}=2-i$．
∴$\frac{|z|}{\overline{z}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2-i}=\frac{\sqrt{5}（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}i}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}i$．
則$\frac{|z|}{\overline{z}}$的虛部為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．