Question

6．隨著教育制度和高考考試制度的改革，高校選拔人才的方式越來越多．某高校向一基地 學(xué)校投放了一個保送生名額，先由該基地學(xué)校初選出10名優(yōu)秀學(xué)生，然后參與高校設(shè)置的 考核，考核設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個方案，每個方案都有M（文化）、N（面試）兩個考核內(nèi) 容，最終選擇考核成績總分第一名的同學(xué)定為該高校在基地校的保送生．假設(shè)每位同學(xué)完成 每個方案中的M、N兩個考核內(nèi)容的得分是相互獨立的．根據(jù)考核前的估計，某同學(xué)完成甲 方案和乙方案的M、N兩個考核內(nèi)容的情況如表：
表1：甲方案

考核內(nèi)容	M（文化）		N（面試）
得分	100	80	50	20
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

表2：乙方案

考核內(nèi)容	M（文化）		N（面試）
得分	90	60	30	10
概率	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

已知該同學(xué)最后一個參與考核，之前的9位同學(xué)的最高得分為125分．
（I）若該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇哪個方案？請說明理由，并求其在該方案下 獲得保送資格的概率；
（II）若該同學(xué)選用乙方案，求其所得成績X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇甲方案．計算選擇甲乙方案最高得分與125比較即可得出結(jié)論．記“該同學(xué)完成考核M得100分”記為事件A，記“該同學(xué)完成考核N得50分”記為事件B，則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$．記“該同學(xué)獲得保送資格”為事件C，可得P（C）=P（AB）+P$（\overline{A}B）$．
（II）若該同學(xué)選擇乙方案，則X=120，100，90，70．理由相互獨立事件的概率計算公式可得分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇甲方案．理由如下：
選擇甲方案最高得分為：100+50=150＞125分，可能獲得第一名即保送資格．
選擇乙方案最高得分為：90+30=120＜125分，不可能獲得第一名即保送資格．
記“該同學(xué)完成考核M得100分”記為事件A，記“該同學(xué)完成考核N得50分”記為事件B，則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$．記“該同學(xué)獲得保送資格”為事件C，則P（C）=P（AB）+P$（\overline{A}B）$=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．∴該同學(xué)獲得保送資格的概率為$\frac{3}{4}$．
（II）若該同學(xué)選擇乙方案，則X=120，100，90，70．
P（X=120）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$=$\frac{81}{100}$，P（X=100）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=90）=$\frac{1}{10}$×$\frac{9}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=70）=$\frac{1}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{1}{100}$．
∴X的分布列為：

X	120	100	90	70
P	$\frac{81}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{1}{100}$

∴E（X）=120×$\frac{81}{100}$+100×$\frac{9}{100}$+90×$\frac{9}{100}$+70×$\frac{1}{100}$=115．

點評 本題考查了相互獨立與對立事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．