Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+ccosB=0
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若c=6，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理將（2a+b）cosC+ccosB=0化簡，可得角C的大�。甤=6，利用余弦定理，構(gòu)造基本不等式，即可求解△ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)（2a+b）cosC+ccosB=0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0．
即2sinAcosC=-sinA，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵c=6，C=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理：可得${c}^{2}={a}^{2}+^{2}-2abcos\frac{2π}{3}$
即36=a²+b²+ab，
∵a²+b²≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）
∴3ab≤36，即ab≤12．
故得△ABC面積S=$\frac{1}{2}$absinC$≤\frac{1}{2}×12×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$．
即△ABC面積的最大值為$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的化簡計(jì)算能力，和基本不等式求最值的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．