Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對x＞0，有f′（x）≥x-

4

3

成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=（x-1）（3x+1），分段討論f（x）單調性即可求出函數(shù)f（x）的極值；
（2）由已知可得3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

對?x∈R成立，當x＞0時，2a+1≤3x+

1

3x

，故可求得a≤

1

2

．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=1．
當f′（x）＞0時，得x＞1或x＜-

1

3

；
當f′（x）＜0時，得-

1

3

＜x＜1．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大	單調遞減	極小	單調遞增

∴當x=-

1

3

時，函數(shù)f（x）有極大值，f（x）_極大值=f（-

1

3

）=2

5

27

，
當x=1時函數(shù)f（x）有極小值，f（x）_極小值=f（1）=1
（2）∵f′（x）=3x²-2ax-1，∴對?x∈R，有f′（x）≥|x|-

4

3

成立，
即有3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

對?x∈R成立，
當x＞0時，有3x²-（2a+1）x+

1

3

≥0，
即2a+1≤3x+

1

3x

，對?x∈（0，+∞）恒成立，
∵3x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，當且僅當x=

1

3

時等號成立，
∴2a+1≤2
故a≤

1

2

．

點評：本題主要考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．