Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n2-n

2k

+1（k∈N^*）
（1）判斷數(shù)列{a_n}是否成等差數(shù)列？并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{T_n}的前n項和為

n

k=1

1

akak+1

且T₁=k，是否存在實數(shù)k，使得T_n＜2對所有的n都成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n2-n

2k

+1（k∈N^*）確定通項，再利用等差數(shù)列的定義判斷即可；
（2）先求和，再根據(jù)T_n＜2對所有的n都成立，可得k+k²≤2（k≠0），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
n=1時，a₁=S₁=1；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n-1

k

，
∴a_n+1-a_n=

1

k

，
∵a₂-a₁=

1

k

-1≠

1

k

，
∴數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列；
（2）由題意可得T₁=

1

a1a2

=k，
n≥2時，

n

k=1

1

akak+1

=k+

k2

1×2

+

k2

2×3

+…+

k2

(n-1)n

=k+k²（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=k+k²（1-

1

n

）＜k+k²
∵T_n＜2對所有的n都成立，
∴k+k²≤2（k≠0）
∴-2≤k≤1且k≠0，
∴存在實數(shù)k滿足-2≤k≤1且k≠0，使得T_n＜2對所有的n都成立．

點評：本題考查等差數(shù)列的判斷，考查裂項法求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．