Question

14．已知圓O₁和圓O₂都經(jīng)過點A（0，1），若兩圓與直線4x-3y+5=0及y+1=0均相切，則|O₁O₂|=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可得兩圓中一個圓的圓心在坐標原點，由已知列式求出另一圓心坐標，則答案可求．

解答 解：如圖，∵原點O到直線4x-3y+5=0的距離d=$\frac{|5|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}=1$，到直線y=-1的距離為1，且到（0，1）的距離為1，
∴圓O₁和圓O₂的一個圓心為原點O，不妨看作是圓O₁，
設(shè)O₂（a，b），則由題意：
$\left\{\begin{array}{l}{b+1=\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}}\\{b+1=\frac{|4a-3b+5|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴$|{O}_{1}{O}_{2}|=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．