設(shè)x>0,求證:sinx+cosx>1+xx2.

證明:設(shè)fx)=sinx+cosx-1-x+x2,

f′(x)=cosx-sinx-1+2x

只要證f′(x)>0.

設(shè)gx)=cosx-sin x-1+2x,

g′(x)=-sinx-cosx+2=(1-sinx)+(1-cosx).

∵sinx=1時(shí)cosx=0,cosx=1時(shí)sinx=0,

∴1-sinx與1-cosx不能同時(shí)為0.

g′(x)>0.

gx)當(dāng)x>0時(shí)是增函數(shù).又gx)在R上是連續(xù)函數(shù)且g(0)=0,

gx)>g(0)=0,即f′(x)>0.

fx)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(0)=0.

x>0時(shí),sinx+cosx>1+xx2.

點(diǎn)評(píng):證明f′(x)>0又引進(jìn)函數(shù)gx),這也是通過(guò)分析得到的證明思路.

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已知函數(shù)f(x)=exlnx
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已知函數(shù)f(x)=exlnx
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(2)設(shè)x>0,求證:f(x+1)>e2x-1;
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