Question

（2012•河南模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S=

3

4

（a²+b²-c²）．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式化簡已知等式的左邊，利用余弦定理表示出cosC，變形后代入等式的右邊，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切整理后求出tanC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理表示出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入所求的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵S=

1

2

absinC，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即a²+b²-c²=2abcosC，
∴S=

3

4

（a²+b²-c²）變形得：

1

2

absinC=

3

4

×2abcosC，
整理得：tanC=

3

，
又0＜C＜π，
則C=

π

3

；                                    
（Ⅱ）∵C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

6

），
又0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則sinA+sinB的取值范圍為（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．