Question

13．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設點P（0，-1），|PA|=|PB|，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂．l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，再利用根與系數(shù)的關系，即可得出．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，設AB中點為M（x₀，y₀），再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），
由|AF₁|=3|F₁B|知：y₁=-3y₂…①
l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{2{b^2}c}}{{{a^2}+{b^2}}}$…②，${y_1}{y_2}=\frac{b^4}{{{a^2}+{b^2}}}$…③
由①②③得：$a=\sqrt{2}b$，故$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）由（1）c=b，3y²-2by-b²=0，
設AB中點為M（x₀，y₀），則${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=\frac{3}$，${x_0}={y_0}-c=-\frac{2b}{3}$．
又k_PM=-1，得$-1=\frac{{\frac{3}+1}}{{-\frac{2b}{3}}}$，解得b=3，a²=18，
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、斜率計算公式、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．