Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x-a

（a∈R）．若方程f（f（x））=x有解，則a的取值范圍為（　　）

• A、(-∞，

  1

  4

  ]
• B、(0，

  1

  8

  ]
• C、(-∞，

  1

  8

  ]
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=t，則方程等價為f（t）=x，根據(jù)條件將方程轉(zhuǎn)化為含有x的一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可．

解答： 解：設(shè)f（x）=t，t≥0，則方程f（f（x））=x等價為f（t）=x，
即

x-a =t t-a =x

，
∴t=x，
即f（x）=x，
∴

x-a

=x在x≥0時有解，
即x-a=x²，
∴a=-x²+x在x≥0時成立，
設(shè)g（x）=-x2+x=-(x2-x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，
∵x≥0
∴當(dāng)x=

1

2

時，g（x）取得最大值

1

4

，
∴g（x）≤

1

4

，
即a≤

1

4

，
故選：A．

點評：本題主要考查方程有解的判斷，利用換元法將方程進行轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．