分析 (Ⅰ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)min≤0,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的最小值,從而求出a的范圍即可;
(Ⅱ)令a=1,則f(x)=x-ln(x+1),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明em-n-1>m-n即可,記 g(x)=ex-x-1,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
解答 解:(Ⅰ)關(guān)于x的不等式f(x)≤0有實(shí)數(shù)解,即f(x)min≤0…(1分)
∵f′(x)=1−1x+1=xx+1,(x>-1),由 f'(x)<0⇒-1<x<0
∴f(x)在(-1,0]遞減,在[0,+∞)遞增,f(x)min=f(0)=a−1a…(4分)
由 a−1a≤0得 0<a≤1,∴a的取值范圍為(0,1]…(5分)
(Ⅱ)令a=1,則f(x)=x-ln(x+1),由(Ⅰ)知f(x)在[0,+∞)遞增,
∵m>n>0,∴f(m)>f(n)即 m-ln(m+1)>n-ln(n+1)…(7分)
∴m-n>ln(m+1)-ln(n+1),故要證原不等式,只要證:em-n-1>m-n…(9分)
記 g(x)=ex-x-1,(x>0),則 g'(x)=ex-1>0…(10分)
∴g(x)在(0,+∞)遞增,∴g(x)>g(0)=0即 ex-1>x(x>0)
令x=m-n,則有:em-n-1>m-n,∴em-n-1>ln(m+1)-ln(n+1)…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道中檔題.
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A. | \frac{100(tanβ-tanα)}{tanαtanβ} | B. | \frac{100tanαtanβ}{tanα-tanβ} | ||
C. | \frac{100(tanα+tanβ)}{tanαtanβ} | D. | \frac{100tanαtanβ}{tanα+tanβ} |
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A. | 4\sqrt{3} | B. | \frac{4\sqrt{3}}{3} | C. | 8\sqrt{3} | D. | \frac{8\sqrt{3}}{3} |
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A. | b>a>c | B. | a>c>b | C. | c>b>a | D. | c>a>b |
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A. | [-1,1] | B. | (-1,0) | C. | [1,3) | D. | (0,1) |
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