Question

17．點P（x₀，y₀）是曲線y=3lnx+x+k（k∈R）圖象上一個定點，過點P的切線方程為4x-y-1=0，則實數(shù)k的值為2．

Answer 1

分析 求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=x₀代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)過點P₀的切線方程為4x-y-1=0得出切線的斜率從而求出切點的坐標，最后將切點的坐標代入曲線方程即可求出實數(shù)k的值．

解答 解：由函數(shù)y=3lnx+x+k知y′=3×$\frac{1}{x}$+1=$\frac{3}{x}$+1，
把x=x₀代入y′得到切線的斜率k=$\frac{3}{{x}_{0}}$+1，
因切線方程為：4x-y-1=0，∴k=4，
∴$\frac{3}{{x}_{0}}$+1=4，得x₀=1，
把x₀=1代入切線方程得切點坐標為（1，3），
再將切點坐標（1，3）代入曲線y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，
∴k=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查學(xué)生根據(jù)曲線的導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，利用切點和斜率寫出切線的方程．屬于中檔題．