P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左,右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率.

(2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足=λ+,求λ的值.

 

(1) (2) λ=0或λ=-4

【解析】【思路點(diǎn)撥】(1)代入P點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率之積為列方程求解.

(2)聯(lián)立方程,設(shè)出A,B,的坐標(biāo),代入=λ+求解.

【解析】
(1)由點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,有-=1.

由題意又有·=,

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,則e==.

(2)聯(lián)立方程得

得4x2-10cx+35b2=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則

設(shè)=(x3,y3),=λ+,

即

又C為雙曲線E上一點(diǎn),即-5=5b2,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,

化簡(jiǎn)得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,

又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線E上,

所以-5=5b2,-5=5b2.

又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)

=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,

得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+=1

 

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程.

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

 

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已知任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)

(A)(0,1) (B)(0,5)

(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)

 

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已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABF2為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)

(A)(1,1+) (B)(1,)

(C)(+1,+∞) (D)(-∞,1+)

 

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若雙曲線-=1的左焦點(diǎn)與拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)重合,則m的值為(　　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

 

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直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程.

(2)試問(wèn):△AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0),一條漸近線方程為y=x,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是(　　)

(A)6 (B)4 (C)2 (D)1

 

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