Question

18．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過橢圓C上一點P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q的直線l交橢圓C于點A，B，且3$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$=$\overrightarrow{0}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²．解出即可得出；
（Ⅱ）由題意得點Q（2，0），設(shè)直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t²）y²+4ty-2=0，利用向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²．
解得a²=6，b²=c²=3，則橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$=$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由題意得點Q（2，0），
設(shè)直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\overrightarrow{QA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-2，y₂），
由3$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$=$\overrightarrow{0}$，得3y₁+y₂=0，
 y₁+y₂=-2y₁，y₁y₂=-3${y}_{1}^{2}$，得到$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$（*）
將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t²）y²+4ty-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{2+{t}^{2}}$，代入（*）式，解得：t²=$\frac{2}{5}$，
∴直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$（x-2）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．