Question

8．已知曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ為參數(shù)），點(diǎn)P（-1，0），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0．
（1）分別寫(xiě)出曲線(xiàn)C₁的普通方程與直線(xiàn)C₂的參數(shù)方程；
（2）若曲線(xiàn)C₁與直線(xiàn)C₂交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)得出C₁的普通方程，把C₂的極坐標(biāo)方程先化成普通方程求出傾斜角和一個(gè)特殊點(diǎn)，再得出標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；
（2）把直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入C₁的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義解出．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C₁的普通方程為$：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
直線(xiàn)C₂的普通方程為x-y+1=0，可知該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（-1，0），傾斜角為45°，
所以直線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得$7{t^2}-6\sqrt{2}t-18=0$，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}•{t_2}=-\frac{18}{7}$，
于是|PA|•|PB|=$|{t_1}•{t_2}|=\frac{18}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．