【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線（）與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

（2）是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

【解析】

（1）由橢圓方程求得，得，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)然這里只要得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得三角形面積；

（2）這類問(wèn)題，都是假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有.設(shè)，，從而有，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，代入，求得值，說(shuō)明存在，求不出值說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在。

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)?/span>，，，所以，，，

聯(lián)立化簡(jiǎn)得，解得或，又點(diǎn)在軸的上方，所以，所以，

所以的面積為.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則有.

設(shè)，，

聯(lián)立消去得，（*）

則，.

由，所以，即，

整理得，

所以，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)（*）中，

所以存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，改款凈水器為三級(jí)過(guò)濾，每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn).在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯需要不定期更換，其中每更換個(gè)一級(jí)濾芯就需要更換個(gè)二級(jí)濾芯，三級(jí)濾芯無(wú)需更換.其中一級(jí)濾芯每個(gè)元，二級(jí)濾芯每個(gè)元.記一臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.如圖是根據(jù)臺(tái)該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的一級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)制成的柱狀圖.

（1）結(jié)合圖，寫出集合；

（2）根據(jù)以上信息，求出一臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)更換二級(jí)濾芯的費(fèi)用大于元的概率（以臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯的頻率代替臺(tái)凈水器更換二級(jí)濾芯發(fā)生的概率）；

（3）若在購(gòu)買凈水器的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則濾芯可享受折優(yōu)惠（使用過(guò)程中如需再購(gòu)買無(wú)優(yōu)惠）.假設(shè)上述臺(tái)凈水器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)，每臺(tái)均購(gòu)買個(gè)一級(jí)濾芯、個(gè)二級(jí)濾芯作為備用濾芯（其中，），計(jì)算這臺(tái)凈水器在使用期內(nèi)購(gòu)買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購(gòu)買凈水器的同時(shí)購(gòu)買備用濾芯的總數(shù)也為個(gè)，則其中一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)應(yīng)分別是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，.有下列命題：

①對(duì),恒有成立.

②,使得成立.

③“若,則有且.”的否命題.

④“若且,則有.”的逆否命題.

其中，真命題有_____________.（只需填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；

(Ⅲ)請(qǐng)直接寫出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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【題目】已知等差數(shù)列的公差，數(shù)列滿足，集合.

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有兩個(gè)元素；

（3）若集合恰好有三個(gè)元素：，是不超過(guò)7的正整數(shù)，求的所有可能的值.

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【題目】已知的圓心為，的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．

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（2）證明：平面；

（3）求二面角的正弦值.

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A.B.C.D.

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【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

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