Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且x＜0時(shí)，f（x）=2ax+

1

x

．
（1）求x＞0時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）a為何值時(shí)，f（x）在（1，+∞]上為增函數(shù)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值為-9．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，得到f（-x）=-2ax-

1

x

=-f（x），從而得到函數(shù)的解析式；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞

1

2x2

在（1，+∞）恒成立，求出(

1

2x2

)max＜

1

2

，從而得出答案；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值為-9，由f′（x）=0，得到x=

1

a

，代入f（

1

a

）=-9，從而求出a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（x）=f（-x）
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2ax+

1

x

，
設(shè)x＞0，則-x＜0，f（-x）=-2ax-

1

x

=-f（x），
∴x＞0時(shí)，f（x）=2ax+

1

x

，
（2）若f′（x）=2a-

1

x2

＞0在（1，+∞）恒成立，
則：a＞

1

2x2

在（1，+∞）恒成立，
∵(

1

2x2

)max＜

1

2

，
∴a≥

1

2

；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值為-9，
由f′（x）=

2ax-1

x

=0，解得：x=

1

a

，
當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（

1

a

）=2a•

1

a

+a=-9，解得：a=-11，
∴存在實(shí)數(shù)a=-11，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值為-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．