Question

19．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$（a∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，利用單調(diào)性與導數(shù)值的關系，通過討論a的值得出函數(shù)的單調(diào)性；

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$，定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$，
若a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減函數(shù)；
若a＞0，當x∈（0，$\frac{2}{a}$）時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞減，
當x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）時，函數(shù)是單調(diào)遞增，

點評 本題考查了函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性，考查函數(shù)與方程的思想，轉化與化歸思想以及考生的推理論證能力．