Question

4．已知不等式$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≥0對于x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 不等式$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≥0對于x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]恒成立，等價(jià)于不等式（$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）_min≥m對于x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]恒成立，令f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]的最小值即可．

解答 解：由題意，令f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}$+$\sqrt{6}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）$-\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}cos\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$）
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
當(dāng)$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．