【題目】已知橢圓C： 的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D 在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)N和M，且PM=MN，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，QM的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得點(diǎn)N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】
（1）

解：∵橢圓C： 的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D 在橢圓C上，

∴由題意得 ，解得a2=4，b2=3，

∴橢圓C的方程為 ．


（2）

解：假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣ ，0），

∵PM=MN，∴P（ ，2m），Q（ ），

∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，

設(shè)A（x1，y1），由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∴ ，∴ ，

設(shè)B（x2，y2），由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，

∴x2+ = ，∴x2=﹣ ，

∵點(diǎn)N平分線段A1B1，∴ ，

∴﹣ =﹣ ，∴k= ，

∴P（±2m，2m），∴ ，解得m= ，

∵|m|= ＜b= ，∴△＞0，符合題意，

∴直線l的方程為y=


【解析】（1）由橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D 在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件，能求出直線l的方程．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2.5cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示，M、N兩點(diǎn)之間的距離為13，且f（3）=0，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則t的最小值為（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（　�。�

A. 2017年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

B. 與去年同期相比，2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)

C. 去年同期河南省的總量不超過(guò)4000億元

D. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，其中m＜n，同時(shí)滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]． 則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，區(qū)間[m，n]稱為“保值區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x2﹣2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2）若函數(shù)f（x）=2+ ﹣ （a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．
（3）對(duì)（2）中函數(shù)f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x對(duì)x≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 = ．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（2）當(dāng)a＜ 時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，點(diǎn)，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；

當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對(duì)恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù).

點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值，并推斷方程是否有實(shí)數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形鐵皮進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，裁剪時(shí)先將四邊形沿直線翻折到處（點(diǎn)分別落在直線下方點(diǎn)處，交邊于點(diǎn)），再沿直線裁剪．

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并求其面積；

（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍.

(1) 求曲線的方程；

(2) 過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn).若是的中點(diǎn),求直線的斜率.

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