Question

19．如圖1，已知矩形ABCD中，點E是邊BC上的點，DE與AC相交于點H，且CE=1，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，現(xiàn)將△ACD沿AC折起，如圖2，點D的位置記為D′，此時ED′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
（1）求證：D′H⊥AE
（2）求三棱錐B-AED′的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥DE，DH′⊥AC，D′H⊥HE，從而D′H⊥平面ABC，由此能證明D′H⊥AE．
（2）由D′H⊥平面ABC，${V}_{B-AE{D}^{'}}$=${V}_{D-AB{E}^{'}}$，能求出三棱錐B-AED′的體．

解答 證明：（1）在矩形ABCD中，
∵CE=1，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴tan$∠EDC=\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan$∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EDC=∠ACB，
∵$∠DCA+∠ACB=\frac{π}{2}$，∴$∠EDC+∠DCA=\frac{π}{2}$，
∴$∠DHC=\frac{π}{2}$，∴AC⊥DE，∴DH′⊥AC，…（4分）
又△CHE∽△AHD，且CE：AD=1：3，
∴${D}^{'}H=DH=\frac{3}{4}DE=\frac{3}{2}$，HE=$\frac{1}{4}DE=\frac{1}{2}$，
∵ED′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴D′H²+HE²=D′E²，∴D′H⊥HE，
∵直線AC與HE是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，
∴D′H⊥平面ABC，又AE?平面ABC，
∴D′H⊥AE．…（8分）
（2）由（1）知D′H⊥平面ABC，
∴三棱錐B-AED′的體積：
${V}_{B-AE{D}^{'}}$=${V}_{D-AB{E}^{'}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{E}^{'}}•{D}^{'}H$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．