Question

10．已知（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為144．
（Ⅰ）求該展開(kāi)式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（Ⅱ）求該展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式可求得n的值；
（Ⅱ）只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z，r=0，3，6，9，從而可求得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C_n^r（-2）^r${x}^{\frac{n-4r}{3}}$，（0≤r≤n，且r∈N）．
由題意可知：第三項(xiàng)的系數(shù)為C_n²（-2）²=144，
即n（n-1）=72，解得n=9．
∴該展開(kāi)式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2⁸=256．
（Ⅱ）∵（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）⁹的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₉^r（-2）^r${x}^{\frac{9-4r}{3}}$，（0≤r≤9，且r∈N）．
要求該展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z，
∴r=0，3，6，9，
∴展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為：T₁=C₉⁰（-2）⁰x³=x³；T₄=C₉³（-2）³x^-1=-672x^-1；
T₇=C₉⁶（-2）⁶x^-5=-5376x^-5；T₁₀=C₉⁹（-2）⁹x^-9=-512x^-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．