Question

16．已知函數(shù)f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R．若滿足不等式f（x）≥g（x）的解的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜0
• B． a＞-$\frac{1}{4}$
• C． a≤-2
• D． a＞-$\frac{1}{4}$或a≤-2

Answer 1

分析 推導出2^x-1+a≥b（2^-x+a），令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}$+a-ab，從而得到b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}＞0$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x）=b（2^1-x-1+a）=b（2^-x+a），
又f（x）≥g（x），∴2^x-1+a≥b（2^-x+a），
令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）
=$\frac{{2}^{x}}{2}+a-\frac{{2}^{x}}$-ab
=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}$+a-ab，
①若b＜0，則$\underset{lim}{x→-∞}$（$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}+a-ab$）=+∞，矛盾；
②若b=0，則$F（x）=\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}+a-ab$在R上是增函數(shù)，
F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}+a≥$0的解集為[2，+∞），故a=-2．
③若b＞0，則F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}+a-ab$在R上是增函數(shù)，
F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}-\frac{{2}^{x}}$+a-ab≥0的解集為[2，+∞），
∴2+a=b（$\frac{1}{4}+a$），
∴b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}＞0$，
解得a＜-2或a$＞-\frac{1}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意換元法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．