Question

1．已知關于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的兩個根分別為sinθ和cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求$\frac{sinθ}{1-cotθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)之間的關系得到sinθ+cosθ，sinθcosθ，然后利用三角公式進行化簡即可．
（2）利用（1）及同角三角函數(shù)基本關系式即可化簡得解．

解答 解：（1）因為方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$，
因為（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
所以（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）2=1+2×$\frac{m}{2}$=1+m，
即1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1+m，
所以m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）$\frac{sinθ}{1-cotθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{sinθ}{1-\frac{cosθ}{sinθ}}$+$\frac{cosθ}{1-\frac{sinθ}{cosθ}}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$-$\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$
=$\frac{（sinθ-cosθ）（sinθ+cosθ）}{sinθ-cosθ}$=sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關系，以及三角函數(shù)的公式的應用，綜合性較強．