Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，從單位圓外一點(diǎn)A引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B₁，B₂，若滿足條件|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{O{B}_{1}}$+$\overrightarrow{O{B}_{2}}$）|=|$\overrightarrow{O{B}_{1}}$-$\overrightarrow{O{B}_{2}}$|的向量$\overrightarrow{c}$的模最大時(shí)，則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{A{B}_{2}}$=0．

Answer 1

分析 根據(jù)條件確定$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)的軌跡，尋找|$\overrightarrow{c}$|取得最大值時(shí)的條件，從而得出$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{A{B}_{2}}$的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{O{B}_{1}}+\overrightarrow{O{B}_{2}}$=$\overrightarrow{OD}$，則D在線段OA上，設(shè)$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
∵|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{O{B}_{1}}$+$\overrightarrow{O{B}_{2}}$）|=|$\overrightarrow{O{B}_{1}}$-$\overrightarrow{O{B}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{B}_{2}{B}_{1}}$|．
∴C的軌跡在以D為圓心，以|B₁B₂|為半徑的圓上，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值為|$\overrightarrow{OD}$|+|$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{B}_{1}}+\overrightarrow{O{B}_{2}}$|+|$\overrightarrow{O{B}_{1}}-\overrightarrow{O{B}_{2}}$|，
∴當(dāng)|$\overrightarrow{O{B}_{1}}+\overrightarrow{O{B}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{B}_{1}}-\overrightarrow{O{B}_{2}}$|時(shí)，即$\overrightarrow{O{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{B}_{2}}$時(shí)，|$\overrightarrow{c}$|取得最大值．
此時(shí)，四邊形AB₁OB₂為正方形，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{2}}=0$．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．