Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2x}-1（x≤0）}\\{f（x-1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，把函數(shù)p（x）=f（x）-x的零點(diǎn)從小到大的順序排成一列，依次為x₁、x₂、x₃，…，則x₃+x₅與2x₄大小關(guān)系為（　�。�

• A． x₃+x₅＜2x₄
• B． x₃+x₅=2x₄
• C． x₃+x₅＞2x₄
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 先借助函數(shù)圖象判斷p（x）在（-∞，0]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷p（x）在（0，+∞）上的零點(diǎn)規(guī)律，即可得出答案．

解答 解：令e^2x-1=x得e^2x=x+1，（x≤0）
作出y=e^2x和y=x+1的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知p（x）在（-∞，0]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)x₁=a，則x₂=0，-1＜a＜0．
∴f（a）=a，f（0）=0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=f（x-1）+1，
∴f（a+1）=f（a）+1=a+1，
f（a+2）=f（a+1）+1=a+2，
…
f（a+n）=f（a+n-1）=a+n，n∈N．
∴a+1，a+2，…，a+n為p（x）的零點(diǎn)，
又f（1）=f（0）+1=1，f（2）=f（1）+1=2，f（3）=f（2）+1=3，…，f（n）=n，n∈N．
∴1，2，3，…，n為p（x）在（0，+∞）上的零點(diǎn)，
∴x₃=a+1，x₄=1，x₅=a+2，
x₃+x₅=2a+3，2x₄=2×2=4，
∵-1＜a＜0，
∴x₃+x₅＜2x₄，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．