Question

11．已知拋物線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），其中p＞0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E，若|EF|=|MF|，點(diǎn)M橫坐標(biāo)為6，則p=4．

Answer 1

分析 把拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y²=2px，則由拋物線的定義可得及|EF|=|MF|，可得△MEF為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m ），分析可得E的坐標(biāo)，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$，其普通方程為y²=2px，為頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向右、對(duì)稱軸是x軸的拋物線，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線l的方程為x=-$\frac{p}{2}$；
則由拋物線的定義可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF為等邊三角形．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，m ），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{p}{2}$，m），
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得m²=2×p×3，即p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，
再由|EF|=|ME|，可得 p²+m²=（6+$\frac{p}{2}$）²，而p=$\frac{{m}^{2}}{6}$，
解可得p=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程，屬于中檔題．