Question

8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若AD=AE，求平面BDF與平面ACFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACFE．
（2）設(shè)AC與BD交點為O，連結(jié)FO，過C作CG⊥FO，G為垂足，連結(jié)BG，則∠BGC為所求二面角的平面角，則平面BDF與平面ACFE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，       
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120
∴∠ACB=90，∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE．
解：（2）設(shè)AC與BD交點為O，連結(jié)FO，
過C作CG⊥FO，G為垂足，連結(jié)BG，
由（1）得BC⊥平面ACEF，則∠BGC為所求二面角的平面角，
在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=60°，則AB=2a，AC=$\sqrt{3}a$，
∵AB∥DC，CD=a，∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，則AO=2CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵AE=CF=a，∴FO=$\frac{2}{\sqrt{3}}a$，則CG=$\frac{CF•CO}{FO}$=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠BGC=$\frac{BC}{CG}$=2，∴sin∠BGC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面BDF與平面ACFE所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．