Question

11．已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線$x=-\frac{1}{2}$的距離長(zhǎng)$\frac{1}{2}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程E；
（2）已知點(diǎn)A（4，0），過(guò)點(diǎn)A的直線l與曲線E交于不同的兩點(diǎn)P，Q，證明：以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）把直線x=-$\frac{1}{2}$向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位變?yōu)閤=-1，此時(shí)點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于它到點(diǎn)（1，0）的距離，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求解x₁x₂+y₁y₂=0，然后推出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離比到直線$x=-\frac{1}{2}$的距離長(zhǎng)$\frac{1}{2}$，
所以點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于它到點(diǎn)（1，0）的距離，
因此點(diǎn)P的軌跡為拋物線，方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率為：k，
直線PQ的方程為：y=k（x-4），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得k²x²-8k²x-4x+16k²=0…①，
則x₁x₂=16，消去x可得：y²-$\frac{4}{k}$y-16=0，
y₁y₂=-16，
可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即OM⊥ON，
所以，以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)P的軌跡方程，考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．