【答案】
分析:(Ⅰ)先由f(x)=x
2-ax-6求導(dǎo)f'(x)=2x-a設(shè)點(diǎn)(m,f(m))在曲線f(x)上,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程及切點(diǎn)A(m
1,f(m
1)),B(m
2,f(m
2)),結(jié)合等比中項(xiàng)條件得到m
1m
2+3(m
1+m
2)-11=0得到利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得a值
(Ⅱ)利用
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在
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是增函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到k≥-2x
3+5x
2+4x+2在
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上恒成立,最后利用恒成立的條件即可求出k的取值范圍;(Ⅲ)先將已知條件進(jìn)行變形化簡(jiǎn)得出t>k>0,再設(shè)u(x)=ln(1+x)-x利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性即可證得
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.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x
2-ax-6
∴f'(x)=2x-a設(shè)點(diǎn)(m,f(m))在曲線f(x)上,
∴點(diǎn)(m,f(m))
處的切線方程為點(diǎn)y-(m
2-am-6)=(2m-a)(x-m),(1分)
∵切線過點(diǎn)(3,-28)與曲線f(x)相切于點(diǎn)A(m
1,f(m
1)),B(m
2,f(m
2)),
∴-28-(m
2-am-6)=(2m-a)(3-m),即m
2-6m+3a-22=0,
∴m
1+m
2=6,m
1m
2=3a-22,(2分)
∵
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是m
1+3與m
2+3的等比中項(xiàng),
∴(m
1+3)(m
2+3)=20,即m
1m
2+3(m
1+m
2)-11=0,(3分)
∴3a-22+3×6-11=0,∴a=5,(4分)
(Ⅱ)∵
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在
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是增函數(shù),
∴
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在
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上恒成立,(5分)
∴k≥-2x
3+5x
2+4x+2在
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上恒成立,
設(shè)m(x)=-2x
3+5x
2+4x+2,∴m'(x)=-6x
2+10x+4,(6分)
則m'(x)=-6x
2+10x+4=0,則
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,或x=2,
∴m(x)=-2x
3+5x
2+4x+2
在
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上是增函數(shù),[2,4)上是減函數(shù),
∴當(dāng)x=2時(shí),m(x)有最大值為14,(7分)
∴k的取值范圍是[14,+∞),(8分)
(Ⅲ)∵
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)
又∵
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,
∴
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![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181902481188561/SYS201310241819024811885021_DA/15.png)
(9分)
=
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=
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,(10分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181902481188561/SYS201310241819024811885021_DA/18.png)
,(11分)
∴t>k>0,
設(shè)u(x)=ln(1+x)-x,(12分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181902481188561/SYS201310241819024811885021_DA/19.png)
,
當(dāng)x>0時(shí),u'(x)<0,
∴u(x)在(0,+∞)上遞減,(13分)
∵t>k>0,∴u(t)<u(k),
∴l(xiāng)n(1+t)-t<ln(1+k)-k,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181902481188561/SYS201310241819024811885021_DA/20.png)
(14分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.