Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}中，首項為a₁（a₁≠0），公差為d，前n項和為S_n，且滿足a₁S₅+15=0，則實數(shù)d的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知條件利用等差數(shù)列前n項和公式得$5{{a}_{1}}^{2}$+10a₁d+15=0，從而d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，由此利用均值定理能求出實數(shù)d的取值范圍．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，首項為a₁（a₁≠0），公差為d，
前n項和為S_n，且滿足a₁S₅+15=0，
∴${a}_{1}（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$+15=0，
∴$5{{a}_{1}}^{2}$+10a₁d+15=0，
∴d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，
當a₁＞0時，d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁≤-2$\sqrt{（-\frac{3}{2{a}_{1}}）（-\frac{1}{2}{a}_{1}）}$=-$\sqrt{3}$，
當a₁＜0時，d=-$\frac{3}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁≥2$\sqrt{（-\frac{3}{2{a}_{1}}）（-\frac{1}{2}{a}_{1}）}$=$\sqrt{3}$，
∴實數(shù)d的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案為：（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和均值定理的合理運用．