Question

5．甲參加A，B，C三個(gè)科目的學(xué)業(yè)水平考試，其考試成績合格的概率如表，假設(shè)三個(gè)科目的考試甲是否成績合格相互獨(dú)立．

	科目A	科目B	科目C
甲	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$

（Ⅰ）求甲至少有一個(gè)科目考試成績合格的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲參加考試成績合格的科目數(shù)量為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“甲至少有一個(gè)科目考試成績合格”為事件M，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出甲至少有一個(gè)科目考試成績合格的概率．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）記“甲至少有一個(gè)科目考試成績合格”為事件M，
則P（$\overline{M}$）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
∴甲至少有一個(gè)科目考試成績合格的概率：
P（M）=1-P（$\overline{M}$）=1-$\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{3}{4}）$+$（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{3}{4}）$+（1-$\frac{2}{3}$）×$（1-\frac{1}{2}）×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{11}{24}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

EX=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．