Question

11．已知$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a為常數(shù)）
（1）求$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$上，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)求單調(diào)增區(qū)間；
（3）結(jié)合正弦函數(shù)的值域來(lái)求a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（cosx+$\sqrt{3}sinx$，1），$\overrightarrow n$=（2cosx，a）（x，a∈R，a為常數(shù)），$y=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴y=f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+a=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a+1
=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1；
（2）當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z時(shí)，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴y_最大值=3+a=4，
則a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．