Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x的非負(fù)半軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A，B，已知A的橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{10}$，則2α+β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得α、β的正弦值和余弦值，利用二倍角公式求得2α的正弦和余弦值，再利用兩角和的余弦公式求得cos（2α+β）的值，可得2α+β的值．

解答 解：由題意可得，A的縱坐標(biāo)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B的橫坐標(biāo)為$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
可得α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$），∴2α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）．
∵cos2α=2cos²α-1=-$\frac{3}{5}$，∴sin2α=$\sqrt{{1-cos}^{2}2α}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α+β）=cos2αcosβ-sin2αsinβ=-$\frac{3}{5}•\frac{7\sqrt{2}}{10}$-$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{2}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2α+β=$\frac{3π}{4}$，
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式、兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．