Question

17．太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)�圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”．則下列有關(guān)說(shuō)法中：
①對(duì)于圓O：x²+y²=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sinx+1是圓O：x²+（y-1）²=1的一個(gè)太極函數(shù)；
③存在圓O，使得f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$是圓O的一個(gè)太極函數(shù)；
④直線（m+1）x-（2m+1）y-1=0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓O：（x-2）²+（y-1）²=R²（R＞0）的太極函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）=kx³-kx（k∈R）是圓O：x²+y²=1的太極函數(shù)，則k∈（-2，2）．
所有正確的是②④⑤．

Answer 1

分析 利用新定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可．

解答 解：對(duì)①顯然錯(cuò)誤，如圖

對(duì)②，點(diǎn)（0，1）均為兩曲線的對(duì)稱中心，且f（x）=sinx+1能把圓一分為二，正
對(duì)③，函數(shù)為奇函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，當(dāng)x→0（x＞0）時(shí)，
f（x）→+∞，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→1，[f（x）＞1]，函數(shù)遞減；
當(dāng)x→0（x＜0）時(shí)，f（x）→-∞，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-1，[f（x）＜-1]，
函數(shù)f（x）關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，有三條漸近線y=±1，x=0，
可知，函數(shù)的對(duì)稱中心為間斷點(diǎn)，故不存在圓使得滿足題干條件．
對(duì)于④直線（m+1）x-（2m+1）y-1=0恒過(guò)定點(diǎn)（2，1），滿足題意．
對(duì)于⑤函數(shù)f（x）=kx³-kx為奇函數(shù)，與圓的交點(diǎn)恒坐標(biāo)為（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k{x}^{3}-kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴k²x⁶-2k²x⁴+（1+k²）x²-1=0，
令t=x²，得k²t³-2k²t²+（1+k²）t-1=0，
即（t-1）（k²t²-k²t²+1）=0
得t=1即x=±1；
對(duì)k²t²-k²t²+1，當(dāng)k=0時(shí)顯然無(wú)解，△＜0即0＜k²＜4時(shí)也無(wú)解，
即k∈（-2，2）時(shí)兩曲線僅有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)能把圓一分為二，且周長(zhǎng)和面積均等分．
若k=±2時(shí)，函數(shù)圖象與圓有4個(gè)交點(diǎn)，
若k²＞4時(shí)，函數(shù)圖象與圓有6個(gè)交點(diǎn)，均不能把圓一分為二．
，
故所有正確的是②④⑤
故答案為：②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，命題真假的判斷，新定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．