Question

3．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，F(xiàn)D⊥平面ABCD，$FD=\sqrt{3}$．
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（II）求證：平面ACF⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD，證明四邊形EHDF為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）證明AC⊥面FBD，即可證明平面ACF⊥平面BDF．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD，∴$EH=\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD，
又∵FD⊥平面ABCD，$FD=\sqrt{3}$，
∴FD∥EH，F(xiàn)D=EH．
∴四邊形EHDF為平行四邊形．
∴EF∥HD．
∵EF?平面ABCD，HD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD． …（7分）
（Ⅱ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，
又四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，
又AC?面ACF，從而面ACF⊥面BDF．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行、垂直的判定，考查平面與平面垂直的證明，著重考查分析推理能力與表達、運算能力，屬于中檔題．