Question

【題目】2011年，國際數學協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節(jié)，來源是中國古代數學家祖沖之的圓周率．為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數學嘉年華活動中，設計了一個有獎闖關游戲，游戲分為兩個環(huán)節(jié)． 第一環(huán)節(jié)“解鎖”：給定6個密碼，只有一個正確，參賽選手從6個密碼中任選一個輸入，每人最多可輸三次，若密碼正確，則解鎖成功，該選手進入第二個環(huán)節(jié)，否則直接淘汰．
第二環(huán)節(jié)“闖關”：參賽選手按第一關、第二關、第三關的順序依次闖關，若闖關成功，分別獲得10個、20個、30個學豆的獎勵，游戲還規(guī)定，當選手闖過一關后，可以選擇帶走相應的學豆，結束游戲，也可以選擇繼續(xù)闖下一關，若有任何一關沒有闖關成功，則全部學豆歸零，游戲結束．設選手甲能闖過第一關、第二關、第三關的概率分別為 ，選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為 ，且各關之間闖關成功與否互不影響．
（1）求某參賽選手能進入第二環(huán)節(jié)的概率；
（2）設選手甲在第二環(huán)節(jié)中所得學豆總數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：選手能進入第二環(huán)節(jié)，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．

第一次解鎖成功的概率為： ，第二次解鎖成功的概率為： ，

第三次解鎖成功的概率為： ，

所以該選手能進入第二環(huán)節(jié)的概率為：

（2）解：X的所有可能取值為0，10，30，60．

， ， ， ．

所以X的分布列為

X	0	10	30	60
P

【解析】（1）選手能進入第二環(huán)節(jié)，說明該選手可能是第一次解鎖成功，可能是第二次解鎖成功，也可能是第三次才解鎖成功．第一次解鎖成功的概率為： ，第二次解鎖成功的概率為： ，第三次解鎖成功的概率為： ，即可得出．（2）X的所有可能取值為0，10，30，60．利用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．