已知
a
=(x,
3
y),
b
=(1,0),(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)

(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程;
(2)若直線l:y=kx+m(km≠0)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),D(0,-1)且|
AD
|=|
BD
|
,求m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)兩個(gè)向量垂直,代入即可求得x和y的關(guān)系式.則軌跡方程可得.
(2)設(shè)有一點(diǎn)D在軌跡C上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)D的切線與y軸交于(0,m),m取極值時(shí),有過(guò)點(diǎn)D的切線⊥AD.先看D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為
(a,b),則僅當(dāng)D與A點(diǎn)重合時(shí)滿足條件,考慮M、N為不同的兩點(diǎn),可知m的范圍;在看D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為(a,b),則切線方程可得,與y軸交點(diǎn)為m,進(jìn)而可求得直線AD的斜率表達(dá)式,根據(jù)切線⊥AD推斷出:k1×k2=-1,進(jìn)而求得m的范圍.最后綜合可得答案.
解答:解:(1)∵(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)

∴(x+
3
,
3
y)(x-
3
3
y)=0
∴x2-3+3y2=0
整理得:
x2
3
+y2=1

即點(diǎn)Q(x,y)的軌跡C是橢圓
x2
3
+y2=1

(2):設(shè)有一點(diǎn)D在軌跡C上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)D的切線與y軸交于(0,m),
m取極值時(shí),有過(guò)點(diǎn)D的切線⊥AD.
①D在x軸下方
顯然僅當(dāng)D與A點(diǎn)重合時(shí)滿足條件,考慮M、N為不同的兩點(diǎn),可知m>-1
②D在x軸上方設(shè)切點(diǎn)為(a,b),則有切線方程:
ax
3
+by=1,
其斜率為 k1=-
a
3b
,與y軸交點(diǎn)為 m=
1
b

直線AD的斜率為 k2=
(b+1)
a

由切線⊥AD:k1×k2=-1
即(-
a
3b
(b+1)
a
=-1
解得:b=
1
2

則:m=
1
b
=2
∴m≤2
綜上述:-1<m≤2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力.
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C.-6

D.6

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B.3
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A.-3B.3
C.-6 D.6

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