Question

設(shè)對于任意的實數(shù)x，y，函數(shù)f（x），g（x）滿足f（x+1）=

1

3

f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=13，
n∈R⁺
（Ⅰ）求數(shù)列{f（n）}和{g（n）}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=g[

n

2

f（n）]，求數(shù)列{C_n}的前項和S_n；
（Ⅲ）設(shè)F（n）=S_n-3n，存在整數(shù)m和M，使得對任意正整數(shù)n不等式m＜F（n）＜M恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），故數(shù)列{f（n）}等比數(shù)列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故數(shù)列{g（n）}是等差數(shù)列，進而得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：C_n=n(

1

3

)n-1+3，然后利用錯位相減的方法求出數(shù)列的前n項和為Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因為F（n）=S_n-3n，所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，利用增函數(shù)的定義判斷出數(shù)列是增數(shù)列，所以F（n）的最小值為F（1）=1．由極限的思想可得F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．因此當(dāng)m＜1且M≥

9

4

時，不等式m＜F（n）＜M恒成立，進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），取x=0，f（1）=

1

3

f（0）=1
故數(shù)列{f（n）}是首項是1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，所以f（n）=(

1

3

)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2（n∈N），即g（n+1）-g（n）=2，
故數(shù)列{g（n）}是公差為2的等差數(shù)列，又g（5）=13，
所以g（n）=2n+3．
（Ⅱ）由題意可得：C_n=g[

n

2

f（n）]=n(

1

3

)n-1+3，
所以S_n；=1+2×

1

3

+3×（

1

3

）²+…+n×（

1

3

）^n-1+3n…①

1

3

S_n=

1

3

+2×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+n×（

1

3

）ⁿ+n…②，
所以①-②可得：

2

3

Sn=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）^n-1-n×（

1

3

）ⁿ+2n=

3

2

[1-(

1

3

)n]-n(

1

3

)n+2n，
所以Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
所以數(shù)列{C_n}的前項和Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因為F（n）=S_n-3n，
所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，
所以F（n+1）-F（n）=(n+1)(

1

3

)n＞0
所以F（n）是單調(diào)遞增數(shù)列，那么F（n）的最小值為F（1）=1．
由于當(dāng)n→+∞時，

2n+3

4

(

1

3

)n-1→0，所以當(dāng)n→+∞時，F(xiàn)（n）→

9

4

，
因為

2n+3

4

(

1

3

)n-1＜0，所以F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．
因此當(dāng)m＜1且M≥

9

4

時，不等式m＜F（n）＜M恒成立，
所以存在正數(shù)m=0，-1，-2…；M=3，4，5…，使得對任意的正整數(shù)，不等式m＜F（n）＜M恒成立．
此時，M-m的最小值為3．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的賦值法求出數(shù)列的通項公式，數(shù)列掌握數(shù)列求出的方法以及求數(shù)列和的最值的方法，此題是數(shù)列與函數(shù)與不等式的綜合題型屬于難題．