Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b（a，b∈R），且f（x）在x=$\frac{\sqrt{3e}}{3}$時取極小值0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求a，b的值；
（2）記g（x）=（-a）^x，m、n是函數(shù)g（x）定義域內(nèi)的任意值，且m≠n，判斷g（$\frac{m+n}{2}$）、$\frac{g（m）+g（n）}{2}$、$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）在x=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$時取極小值0，所以$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{\sqrt{3}e}{3}）=0}\\{f'（\frac{\sqrt{3}e}{3}）=0}\end{array}\right.$，列出方程直接可求出；
（2）由題意g（x）=e^x，利用作差法與構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（x-2）e^x+x+2 （x＞0），利用函數(shù)單調(diào)性判斷h（x）＞0即可；利用作商法求證$\frac{g（m）+g（n）}{2}$＞g（$\frac{m+n}{2}$）；利用數(shù)形結(jié)合方法推導 $\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$＞g（$\frac{M+n}{2}$）．

解答 解：（1）因為f（x）在x=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$時取極小值0，所以$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{\sqrt{3}e}{3}）=0}\\{f'（\frac{\sqrt{3}e}{3}）=0}\end{array}\right.$，
因為f（x）=x³+ax+b，所以f'（x）=3x²+a，
所以$（\frac{\sqrt{3}e}{3}）^{3}+\frac{\sqrt{3}e}{3}a+b=0$，
3$（\frac{\sqrt{3}e}{3}）^{2}+a$=0，
解得：a=-e，b=$\frac{2\sqrt{3e}e}{9}$．
（2）因為a=-e，所以g（x）=e^x，
所以$\frac{g（m）+g（n）}{2}=\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2}$，
$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}=\frac{{e}^{m}-{e}^{n}}{m-n}$，
設(shè)m＞n，此時$\frac{g（m）+g（n）}{2}＞0$，$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}＞0$，
$\frac{g（m）+g（n）}{2}-\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$
=$\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2}$-$\frac{{e}^{m}-{e}^{n}}{m-n}$
=$\frac{{e}^{n}[（m-n-2）{e}^{m-n}+（m-n+2）]}{2（m-n）}$，
令h（x）=（x-2）e^x+x+2 （x＞0），
所以h'（x）=（x-1）e^x+1 （x＞0），
h''（x）=xe^x  （x＞0），
因為x＞0，所以h''（x）＞0，所以y=h'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當x＞0時，h'（x）＞h'（0）=0，
所以y=h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當x＞0時，h（x）＞h（0）=0，
又因為m＞n，
所以$\frac{g（m）+g（n）}{2}-\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$＞0，
即$\frac{g（m）+g（n）}{2}$＞$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$；

令k（x）=$\frac{g（\frac{m+n}{2}）}{\frac{g（m）+g（n）}{2}}$=$\frac{2{e}^{\frac{m}{2}•}{e}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{m}+{e}^{n}}$，
則$\frac{1}{k（x）}$=$\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2{e}^{\frac{m}{2}•}{e}^{\frac{n}{2}}}$=$\frac{1}{2}$ （$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{{e}^{\frac{n}{2}}}$+$\frac{{e}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{\frac{m}{2}}}$）＞1，
所以k（x）＜1⇒g（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{g（m）+g（n）}{2}$；
因為g（x）=e^x是單調(diào)遞增函數(shù)，所以$\frac{g（m）+g（n）}{2}$＞g（$\frac{m+n}{2}$）；
根據(jù)圖象：
$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$ 是圖中直角三角形斜邊的斜率；
只有當s＞$\frac{m+n}{2}$時，才存在
g'（s）=$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$ 成立．
因為g（x）=g'（x）
所以$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}=g（s）\\;＞\\;g（\frac{m+n}{2}）$＞g（$\frac{M+n}{2}$）

故：g（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{g（m）-g（n）}{m-n}$＜$\frac{g（m）+g（n）}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值，以及作差與作商比較大小，數(shù)學結(jié)合思想等知識點，屬中等偏上題．