【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AB=2A1B1=2CC1 , M,N分別為AC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:AB1∥平面C1MN;
(2)若AB⊥BC且AB=BC,求二面角C﹣MC1﹣N的大小.

【答案】
(1)證明:連接B1N,B1C,

設(shè)B1C與NC1交于點(diǎn)G,在三棱臺ABC﹣A1B1C1中,

AB=2A1B1,則BC=2B1C1

而N是BC的中點(diǎn),B1C1∥BC,

則B1C1 NC,所以四邊形B1C1CN是平行四邊形,G是B1C的中點(diǎn),

在△AB1C中,M是AC的中點(diǎn),則MG∥AB1,

又AB1平面C1MN,MG平面C1MN,

所以AB1∥平面C1MN


(2)解:由CC1⊥平面ABC,可得A1M⊥平面ABC,

而AB⊥BC,AB=BC,則MB⊥AC,

所以MA,MB,MA1兩兩垂直,

故以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA,MB,MA1所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則A1B1=CC1=1,AC=2 ,AM= ,

B(0, ,0),C(﹣ ,0,0),C1(﹣ ,0,1),N(﹣ ,0),

則平面ACC1A1的一個法向量為 =(0,1,0),

設(shè)平面C1MN的法向量為 =(x,y,z),

,

取x=1,則 =(1,1, ),

cos< >=

由圖形得得二面角C﹣MC1﹣N為銳角,

所以二面角C﹣MC1﹣N的大小為60°.


【解析】(1)連接B1N,B1C,設(shè)B1C與NC1交于點(diǎn)G,推導(dǎo)出四邊形B1C1CN是平行四邊形,從而MG∥AB1 , 由此能證明AB1∥平面C1MN.(2)以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA,MB,MA1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C﹣MC1﹣N的大。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

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