Question

4．某班A，B，C，D，E5個(gè)同學(xué)先坐好，然后玩坐座位的游戲，當(dāng)坐回自己原來(lái)的位置上稱(chēng)為“坐對(duì)”，否則稱(chēng)作“坐錯(cuò)“．
（1）求只有兩個(gè)人“坐對(duì)”的概率；
（2）若每“坐對(duì)”一個(gè)人得1分，“坐錯(cuò)“得-1分，設(shè)5人得分和的絕對(duì)值為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）從5人中任選2人坐對(duì)，其余三人全做錯(cuò)只有2種情況，從而得出概率；
（2）分別計(jì)算每種情況的概率和得分，從而得出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）若只有兩人坐對(duì)，則另外三人全坐錯(cuò)，
∴只有兩人坐對(duì)的概率為P=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{6}$．
（2）設(shè)事件A_n表示有n個(gè)人坐對(duì)位置，n=0，1，2，3，5
則P（A₁）=$\frac{{C}_{5}^{1}×9}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{8}$，
P（A₂）=$\frac{1}{6}$，
P（A₃）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{12}$，
P（A₅）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$，
∴P（A₀）=1-$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{30}$．
∴X的可能取值為5，3，1，
P（X=1）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{3}{8}$，P（X=5）=$\frac{1}{120}+\frac{11}{30}$=$\frac{3}{8}$．
∴X的分布列為：

X	1	3	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

∴EX=1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{8}$+5×$\frac{3}{8}$=$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．