Question

16．平面直角坐標系xOy中，A（2，4），B（-1，2），C，D為動點，
（1）若C（3，1），求平行四邊形ABCD的兩條對角線的長度
（2）若C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$取得最小值時a，b的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AC}$=（1，-3），$\overrightarrow{BA}$=（3，2）．可得$|\overrightarrow{AC}|$．由平行四邊形的性質可得：$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{BA}$．可得$\overrightarrow{BD}$．
（2）C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+（3，1），可得$\overrightarrow{BD}$=（a+4，b-1）．$\overrightarrow{AC}$=（a-2，b-4）．利用數(shù)量積運算性質、二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$=（1，-3），$\overrightarrow{BA}$=（3，2）．
$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{{1}^{2}+（-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
由平行四邊形的性質可得：$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{BA}$=（6，3）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（7，1），可得：$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
（2）C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，∴$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+（3，1）=（a+3，b+1）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（a+4，b-1）．
$\overrightarrow{AC}$=（a-2，b-4）．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（a-2）（a+4）+（b-4）（b-1）=a²+2a-8+b²-5b+4
=（a+1）²+$（b-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{45}{4}$≥$-\frac{45}{4}$，當且僅當a=-1，b=$\frac{5}{2}$時取等號．

點評 本題考查了向量坐標運算性質、數(shù)量積運算性質、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．