Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+2=2a_n•等差數列{b_n}的前n項和為T_n，且T₂=S₂=b_3•
（I）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$，求數列{c_n}的前2n項和R_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，n=2時，分別求出a₁=2，a₂=4，設等差數列{b_n}的公差為d，前n項和為T_n，運用等差數列的通項公式和求和公式，求得數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），運用數列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁=2，
當n=2時，a₁+a₂=2a₂-2，
求得a₂=4，
設等差數列{b_n}的公差為d，前n項和為T_n，
T₂=S₂=b₃，可得b₁+b₁+d=a₁+a₂=b₁+2d=6，
解得b₁=d=2，
則b_n=2n；
（Ⅱ）T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n（n+1），
令${c_n}={（-1）^n}\frac{{4{T_n}-1}}{b_n^2-1}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n（n+1）-1}{4{n}^{2}-1}$
=（-1）ⁿ•（1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
則數列{c_n}的前2n項和
R_2n=-（1+1+$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）-（1+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1-$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n-1}$）+（1+$\frac{1}{4n-1}$+$\frac{1}{4n+1}$）
=-1+$\frac{1}{4n+1}$=-$\frac{4n}{4n+1}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式，考查數列的求和方法：裂項相消求和，注意變形和化簡，考查運算能力，屬于中檔題．