【題目】已知函數(shù)f(x)=(1+x)e﹣2x , g(x)=ax+ +1+2xcosx,當x∈[0,1]時,
(1)求證: ;
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:①當x∈[0,1)時,(1+x)e﹣2x≥1﹣x(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex,
令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex,則h′(x)=x(ex﹣e﹣x).
當x∈[0,1)時,h′(x)≥0,
∴h(x)在[0,1)上是增函數(shù),
∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.
②當x∈[0,1)時, ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,則u′(x)=ex﹣1.
當x∈[0,1)時,u′(x)≥0,
∴u(x)在[0,1)單調(diào)遞增,∴u(x)≥u(0)=0,
∴f(x) .
綜上可知: .
(2)解:設G(x)=f(x)﹣g(x)=
≥ = .
令H(x)= ,則H′(x)=x﹣2sinx,
令K(x)=x﹣2sinx,則K′(x)=1﹣2cosx.
當x∈[0,1)時,K′(x)<0,
可得H′(x)是[0,1)上的減函數(shù),∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)單調(diào)遞減,
∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.
∴當a≤﹣3時,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.
下面證明當a>﹣3時,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.
f(x)﹣g(x)≤ = =﹣x .
令v(x)= = ,則v′(x)= .
當x∈[0,1)時,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是減函數(shù),
∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].
當a>﹣3時,a+3>0.
∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此時,f(x0)<g(x0).
即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.
綜上實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,﹣3].
【解析】(1)①當x∈[0,1)時,(1+x)e﹣2x≥1﹣x(1+x)e﹣x≥(1﹣x)ex , 令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)ex , 利用導數(shù)得到h(x)的單調(diào)性即可證明;②當x∈[0,1)時, ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,利用導數(shù)得出h(x)的單調(diào)性即可證明.(2)利用(I)的結論得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥ = .再令H(x)= ,通過多次求導得出其單調(diào)性即可求出a的取值范圍.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=alnx-bx2(x>0),若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切。
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,,,,設的外接圓圓心為.
(1)若與直線相切,求實數(shù)的值;
(2)設點在上,使的面積等于12的點有且只有三個,試問這樣的是否存在?若存在求出的標準方程;若不存在,說明理由.
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【題目】下列說法正確的個數(shù)有( )
①用刻畫回歸效果,當越大時,模型的擬合效果越差;反之,則越好;
②命題“,”的否定是“,”;
③若回歸直線的斜率估計值是,樣本點的中心為,則回歸直線方程是;
④綜合法證明數(shù)學問題是“由因索果”,分析法證明數(shù)學問題是“執(zhí)果索因”。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】(本小題滿分14分)已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點,.
(1)求圓的圓心坐標;
(2)求線段的中點的軌跡的方程;
(3)是否存在實數(shù),使得直線 與曲線只有一個交點?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)數(shù)分別記為m,n,那么m+n=( )
A.8
B.9
C.10
D.11
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊,游戲規(guī)則為:以0為起點,再從A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊.
(1)求小波參加學校合唱團的概率;
(2)求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB= AB.
(1)證明:BC1∥平面A1CD
(2)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.
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