【題目】已知函數(shù)f(x)=(1+x)e2x , g(x)=ax+ +1+2xcosx,當x∈[0,1]時,
(1)求證: ;
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:①當x∈[0,1)時,(1+x)e2x≥1﹣x(1+x)ex≥(1﹣x)ex

令h(x)=(1+x)ex﹣(1﹣x)ex,則h′(x)=x(ex﹣ex).

當x∈[0,1)時,h′(x)≥0,

∴h(x)在[0,1)上是增函數(shù),

∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.

②當x∈[0,1)時, ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,則u′(x)=ex﹣1.

當x∈[0,1)時,u′(x)≥0,

∴u(x)在[0,1)單調(diào)遞增,∴u(x)≥u(0)=0,

∴f(x)

綜上可知:


(2)解:設G(x)=f(x)﹣g(x)=

=

令H(x)= ,則H′(x)=x﹣2sinx,

令K(x)=x﹣2sinx,則K′(x)=1﹣2cosx.

當x∈[0,1)時,K′(x)<0,

可得H′(x)是[0,1)上的減函數(shù),∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)單調(diào)遞減,

∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.

∴當a≤﹣3時,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.

下面證明當a>﹣3時,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.

f(x)﹣g(x)≤ = =﹣x

令v(x)= = ,則v′(x)=

當x∈[0,1)時,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是減函數(shù),

∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].

當a>﹣3時,a+3>0.

∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此時,f(x0)<g(x0).

即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.

綜上實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,﹣3].


【解析】(1)①當x∈[0,1)時,(1+x)e2x≥1﹣x(1+x)ex≥(1﹣x)ex , 令h(x)=(1+x)ex﹣(1﹣x)ex , 利用導數(shù)得到h(x)的單調(diào)性即可證明;②當x∈[0,1)時, ex≥1+x,令u(x)=ex﹣1﹣x,利用導數(shù)得出h(x)的單調(diào)性即可證明.(2)利用(I)的結論得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥ = .再令H(x)= ,通過多次求導得出其單調(diào)性即可求出a的取值范圍.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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