【題目】已知兩個無窮數(shù)列和的前項和分別為, , , ,對任意的,都有.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若 為等差數(shù)列,對任意的,都有.證明: ;
(3)若 為等比數(shù)列, , ,求滿足 的值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:利用題目提供的 方面的關(guān)系,借助轉(zhuǎn)化為的關(guān)系,證明出滿足等差數(shù)列定義,利用等差數(shù)列通項公式求出,進(jìn)而得出, 成等差數(shù)列,寫出,根據(jù)恒成立,得出和公差的要求,比較的大小可采用比較法; 是以為首項, 為公比的等比數(shù)列,求出和,根據(jù)題意求出的值.
試題解析:
(1)由,得,
即,所以.
由, ,可知.
所以數(shù)列是以為首項, 為公差的等差數(shù)列.
故的通項公式為.
(2)證法一:設(shè)數(shù)列的公差為,則,
由(1)知, .
因為,所以,即恒成立,
所以 即
又由,得,
所以
.
所以,得證.
證法二:設(shè)的公差為,假設(shè)存在自然數(shù),使得,
則,即,
因為,所以.
所以,
因為,所以存在,當(dāng)時, 恒成立.
這與“對任意的,都有”矛盾!
所以,得證.
(3)由(1)知, .因為 為等比數(shù)列,且, ,
所以是以為首項, 為公比的等比數(shù)列.
所以, .
則,
因為,所以,所以.
而,所以,即(*).
當(dāng), 時,(*)式成立;
當(dāng)時,設(shè),
則,
所以.
故滿足條件的的值為和.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在多面體中, 與均為邊長為2的正方形, 為等腰直角三角形, ,且平面平面,平面平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的一個極值點, 和1是的兩個零點,且,求的值;
(2)若,且是的兩個極值點,求證:當(dāng)時, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額(單位:百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):
如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程;
(3)預(yù)測當(dāng)廣告費支出為9百萬元時的銷售額.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面是邊長是1的正方形,側(cè)棱PA與底面成45°的角,M,N,分別是AB,PC的中點;
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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【題目】某高校在2014年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | n | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | p |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185] | 10 | 0.100 |
合計 | 100 | 1.000 |
(1)求頻率分布表中n,p的值,并補(bǔ)充完整相應(yīng)的頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,則第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試,求第4組至少有1名學(xué)生被甲考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,直線與圓交于, 兩點.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程及弦的長;
(2)動點在圓上(不與, 重合),試求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A、B、C三點滿足 = + .
(1)求證:A、B、C三點共線;
(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ),f(x)= ﹣(2m+ )| |的最小值為﹣ ,求實數(shù)m的值.
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