Question

【題目】求證：
（1）a2＋b2≥2(a－b－1).
（2）若a＞b＞c，則bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2＜2＋a2b.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：a2＋b2－2(a－b－1)

＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1).

（2）

證明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)

＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－ab)

＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)ab(b－a)

＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)

＝(b－a)(c－a)(c－b)，

∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.

∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.

【解析】本題主要考查了比較法證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少.(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法.(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào).有時(shí)會(huì)遇到結(jié)果符號(hào)不能確定，這時(shí)候要對(duì)差式進(jìn)行分類討論.